这一讲有两小节.
\section{实数集的完备性}
这一节给出的是关于实数完备性的讨论,完备性理论对于分析来说是至关重要的,大量的结论需要依赖于完备性.
这里讨论的实际上就是上一节中给出的实数性质中的第17条.
对于任何非空有上界的集合$A$,其上界$b$的集合$B$含有最小元$b^{'}$,也就是说,存在唯一的元素$b^{'}
\in B$使得:
\begin{enumerate}
\item $b^{'}$是集合$A$的上界,即对于一切$a \in A$,成立$b^{'} \geq a$;
\item $b^{'}$是集合$B$的最小元素,也就是说对于一切$b \in B$,有$b^{'} \leq b$;
\end{enumerate}
这里的元素$b^{'}$称为集合A的上确界.不过这个性质中涉及了定义:上界.根据惯例,我们先给出这一节中给出的定义,然后再给出相关的命题和定理.
\begin{enumerate}
\item
(上界,下界,有界)实数轴$\mathbb{R}$上的非空集合$A$叫做有上界的,如果存在数$b
\in \mathbb{R}$,使得对于每个$a \in A$都成立不等式$a \leq
b$.即
$$\forall a \in A \rightarrow a \leq b.$$
类似的可以定义下界,有界等概念.
\item
(戴德金分割)任何把有理数分划成具有下面四个性质的两个集的分划叫做分割(戴德金分割):1)$A
\bigcup B = \mathbb{Q}$;2)$A \bigcap B = \emptyset$;3)$A \neq
\emptyset,B \neq \emptyset$;4)对于任意的数$a \in A$和任意的数$b \in
B$,成立不等式$a<b$.
\end{enumerate}
接下来讨论这一节的主题:实数的完备性.书中仍旧采用构造法构造了上确界.这里给出这个构造过程,这个过程值得学习.
首先假设了$0 \in
A$,这个假设是合理的,否则我们对整个集合做一个偏移.于是我们考虑的$b^{'}
\geq 0$,
接下来就可以构造这个上确界了.整个构造过程依赖于这样一个实数的比较原则:若$a>b
\geq
0$且此两数的十进制表示为$a=a_0.a_1a_2...a_k...$和$b=b_0.b_1b_2...b_k...$,那么或者$a_0>b_0$,或者
存在某个号码$k$,使得$a_0.a_1a_2...a_k>b_0.b_1b_2...b_k$.
根据我们的假设,我们可以只考虑$A$中大于0的那部分元素了,我们把这个集合记作$A_0$,那么对于$a
\in
A_0$来说,$
$只有有限个(因为$A_0$是有界的),于是存在一个最大的$=x_0$,然后我们取出$A_0$中所有满足$=x_0$的元素a组成集合
$A_1$.
对于集合$A_1$,用$n_1(a)$表示$a$的小数点后面第1位数的值,它的取值最多十个,因而可以取出其中最大的一个,记为$x_1$,同时
把集合$A_1$中所有满足$n_1(a)=x_1$的元素$a$组成集合$A_2$.另外用$s_1(a)$表示把$a$的十进小数表示中小数点后第二位及其
以后的全部数字都改成零所得的数.这个时候有这样的关系式:对于任意的$a
\in A_2$有$s_1(a)=x_0.x_1$,而对于一切$a$不属于$A_2$,成立不等式$a <
x_0.x_1$.
基本上可以依次类推了,接下来是考虑$A_2$了,需要定义$n_2(a),s_2(a)$了,...
对于一般的$k$,我们有
$$s_k(a)=x_0.x_1...x_k,\forall a \in A_{k+1} $$
$$a<x_0.x_1...x_k,\forall a \overline{\in} A_{k+1}$$
我们需要的上确界$b^{'}$就是$x_0.x_1x_2...$,也就是它满足条件:
1)$b^{'}$是上界,
2)$b^{'}$是最小上界,具体证明这里不给出了.
对于上确界来说,它可能属于$A$,也可能不属于$A$,
虽然前面已经证明过无理数的存在,不过下面的例子可以说明为什么仅有有理数是不够的.有理数集合是不完备的.
考虑集合A为满足条件$a^{2} \leq 2$或者$
a<0$的有理数$a$的集合,而由满足条件$b^{2}>2$的正的有理数组成的集合$B=\mathbb{Q}\setminus
A$,这里面的$A$和$B$构成一个戴德金分割.而且这里的$B$没有最小元,$A$没有最大元.(注意:书中给出的A和这里的不一样,从上下文来看
书中的A是不正确的.)
书中使用反证法给出了证明,这里只是要说明一下如何找到$k$的范围$\frac{b_{0}^{2}-2}{2b_0}$,类似的方法会经常在证明极限
的时候使用.对于本命题,我们既然是使用反证法,也就是说对于$b_{0}^{2}>2$,我们要找出一个更小的$b
\in
B$也满足$b^{2}>2$,也就是寻找一个$k>0$使得$(b_{0}-k)^{2}>2$,于是直接解这个不等式,适当放缩就可以得到$k$的一个取值范围.
这里也说明在高等数学中,不等式占据了非常重要的地位.
对于实数理论来说,我个人更喜欢戴德金的使用有理分割的方法,而不是柯西的使用无穷小数的方法,感觉戴德金分割几乎是纯粹思维的结果.
而且可以应用到其他地方.
接下来给出几个命题,作为这一节的结束.
1)上确界的性质:若$b=\sup A$,则存在任意的$\epsilon >
0$存在$A$的元$a$使得$a>b- \epsilon$.
证明极其简单,只要使用定义即可.
2)对于任何满足条件$x<y$的实数$x,y \in
\mathbb{R}$存在有理数$\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$使得$x< \frac{m}{n}
<y$.
这个结论的证明需要使用实数的性质16,也就是阿基米德公理,这里也不详细给出了.需要注意的是它的其他说法:
a)有理数在实数集合中稠密;b)任何一个实数可以使用一系列有理数来逼近.
3)设$a,b>0$是实数.
$$
c = \sup_{n}(s_n(a) \pm s_n(b)),d = \sup_{n}(s_n(a)s_n(b)),f =
\sup_{n}(\frac{s_n(a)}{s_n(b)})
$$
如果$s_n(b)>0$的话,那么$c = a \pm b,d = ab,f =\frac{a}{b}$当$b>0$
书中对于这个命题只是给出了简单的提示,没有详细的过程.不过书中前一句话可以理解,后一句话我不是很理解.
\section{关于集合的分离性的引理,关于嵌套闭区间系的引理以及关于收缩闭区间序列的引理}
这一小节很短,这里先给出定义.
1)称非空集合$M$是嵌套闭区间系,如果$M$的元素是闭区间,且对于任意的$\Delta_1,\Delta_2
\in M$,条件$\Delta_1 \subset \Delta_2$和$\Delta_2 \subset
\Delta_1$之中总有一个成立,也就是说一个闭区间的一切点都属于另一个闭区间.
2)嵌套闭区间系$M$称为嵌套闭区间列,如果全部闭区间被编号,且任一大号码的区间包含在任一小号码的区间中.
3)嵌套闭区间列称作收缩闭区间列,如果它所含的闭区间中有长度任意小者.换言之,无论正数$\epsilon$如何,在收缩闭区间列中
都含有其长度小于$\epsilon$的闭区间.
命题1.
(关于集合的分离性)设$A$和$B$是实轴上两个非空集合,而且对于任何$a \in
A$以及任何$b \in B$,成立不等式$a \leq b$.
那么存在数$x$,使得对于一切$a \in A$ 和一切的$b \in B$,成立不等式$a
\leq x \leq b$.
这只要取$x$为$A$的上确界即可.
命题2.(关于嵌套闭区间系)设$M$是嵌套闭区间系.那么存在数$x$,使得对于任意的$\Delta
\in M$都有$x \in \Delta$.
命题3.收缩闭区间列含有公共点且仅含一个公共点.
命题3的证明可以从命题2推出,比较简单,所以这里只讨论命题2的证明.对于命题2我们需要找出这些闭区间的
隐藏的性质.设$A$是属于$M$的闭区间的左端点的集合,而$B$是它们的右端点的集合.那么对于一切$a
\in A$和对于一切$b \in B$,必有$a \leq
b$.这样就可以利用命题1了.不过这个隐藏的性质是需要证明的.证明见课本吧.
书中从命题2给出了一个推论:闭区间上的点的集合是不可数的.
这个证明也有点意思,这里给出详细过程:假设是可数的,记为$a_1,a_2,...$,我们把区间三等分,那么必然存在区间$\Delta_1$满足
$a_1$不属于$\Delta_1$,把$\Delta_1$三等分,那么存在子区间$\Delta_2$,满足$a_2$不属于$\Delta_2$,以此类推...
这样的$\Delta_k$构成一个嵌套闭区间系,根据命题2,存在$x$属于所有的这些闭区间,从而也属于原来的那个最大的闭区间,可是根据我们的定义
这个$x$不位于这个可数的序列中,矛盾.