这一节开始进入极限论部分.
\section{数学归纳法,牛顿二项式以及伯努利不等式}
数学归纳法是数学中极其有用的一个方法, 它基于自然数的如下性质:
在自然数集合的任一非空子集中都存在最小的数.
这一小节主要就是使用这个方法证明了牛顿二项式和伯努利不等式,
同时给出了数学归纳法的一个变形, 说明了这个方法的威力.
本节只有一个定义, 引入了一个非常有用的函数: M$\ddot{o}$bius函数.
1) M$\ddot{o}$bius函数是以下述方式定义在自然数集上的函数:
\begin{equation}
\mu (n)=
\begin{cases}
1, & \text{若$n=1$, } \\ 0, & \text{若$p^{2}$整除$n$, } \\ (-1)^{r},
& \text{若$n=p_{1}$...$p_{r}$, $p_{k} \neq p_{l}$, $k \neq l$, $1
\leq k, l \leq r$. }
\end{cases}
\end{equation}
这个函数在这里完全是作为一个例子,
可实际上这个函数在数学的许多领域起着重要的作用.
2) (乘性)说自然数变量的函数$f(n)$是乘性的,
如果对于任何互素的数$m$和$n$都成立等式$f(mn)=f(m)f(n)$
命题1. (牛顿二项式) 下列等式成立:
$$
(1+x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1}x + ... + C_{n}^{k}x^{k} + ... +
C_{n}^{n}x^{n}.
$$
或者
$$
(1 + x)^{n} = \sum _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}x^{k}}
$$
其中$C_{n}^{k}={n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
这个证明过程中的关键一点在于等式: ${n \choose k} + {n \choose k+1} =
{n+1 \choose k+1}$. 剩下的基本上是简单的使用数学归纳法的两个步骤.
该等式也可以推广到$s$个未知数的形式:
$$
(x + y + ... + z)^{n} = \sum
_{k_{1}+...+k_{s}=n}{\frac{n!}{k_{1}!...k_{s}!}x^{k_{1}}y^{k_{2}}...z^{k_{s}}}
$$
命题2. (伯努利不等式)当$x>-1$, $x \neq 0$时, 对于整数 $n \geq 2$
成立不等式:
$$
(1+x)^{n} > 1 + xn.
$$
证明过程非常简单, 不过这个不等式非常有用,
经常会在求极限的时候使用到.
命题3. M$\ddot{o}$bius函数具有乘性性质.
证明过程使用书中提到的所谓`` 乘性归纳法 '':
(1) 猜测:
通过试验的方法或其它什么途径推出一个每个自然数$n$都具有性质$E$的猜测.
(2) 验证一切素数$p$具有性质$E$.
(3) 假定某个自然数$m$具有性质$E$
(4) 从归纳假定出发, 证明形如$mp$的数也具有这个性质.
(5) 由此, 根据大于1的自然数展开成素余因子的单值性的定理,
可以推出一切自然数具有性质E, (1)中的猜测成立.
整个证明过程基本上就是按照上面的步骤进行的, 具体参考书本.
这里稍微注意一点: 我们实际上可以假定对于$m$, $n$,
都不被素数的平方整除, 因为那种情况下显然成立.
\section{数列, 无穷小数列和无穷大数列及其性质}
数列是一种特殊的函数, 本节引入了不少概念.
不过最重要的就是无穷小数列的概念,
无穷大数列和无穷小数列之间存在一个等价关系. 和以前的类似,
先介绍概念, 后引入各个概念相关的性质.
1) 数列. 定义在自然数集$\mathbb{N}$上的取值为数的函数叫做数值序列,
简称数列.
所以数列是一种函数, 只不过定义域为自然数集, 一般数列可以记为\{
$x_{n}$ \}.
2) 数列的运算. 若\{ $x_{n}$ \}和\{ $y_{n}$ \}是两个数列, 则\{
$x_{n}+y_{n}$ \}称为数列的和, \{ $x_{n}-y_{n}$ \}为数列的差, \{
$x_{n}y_{n}$ \}为数列的积, 当$y_{n} \neq 0$时, 数列\{ $\frac
{x_{n}}{y_{n}}$ \}称为数列的商.
3) 有界. 数列是有上界的, 如果存在$a$使得对于数列的所有项都成立$x_{n}
\leq a$; 数列是有下界的, 如果存在$b$使得$x_{n} \geq b$对于一切$n \in
\mathbb{N}$成立; 数列是有界的, 如果存在$c$使得对于每个号码$n \in
\mathbb{N}$有$|{x_{n}}| \leq c$.
4) 无穷大数列. 数列$\{x_{n}\}$叫做是无穷大的, 如果对于任意的 $c >
0$, 数列的满足不等式$|x_{n}| \leq c$的项的集合是有限的.
$$
\forall c>0 \exists n_{0} = n_{0}(c), \text{使得} \forall n > n_{0}
\text{有}|x_{n}| > c.
$$
5) 无穷小数列. 数列$\{x_{n}\}$叫做是无穷小的, 如果对于任何 $\epsilon
> 0$, 数列的满足不等式$|x_{n}| \geq c$的项的集合是有限的.
$$
\forall \epsilon >0 \exists n_{0} = n_{0}( \epsilon ), \text{使得}
\forall n
> n_{0} \Rightarrow |x_{n}| < \epsilon.
$$
下面是各个概念的属性.
命题1. 无穷小数列是有界的
证明只要使用定义即可. 参见课本.
命题2. 无穷小和无穷大的关系. 如果$\{ x_{n} \}$是无穷大数列, $x_{n}
\neq 0$, 则$\{ \frac{1}{x_{n}} \}$是无穷小数列; 反之, 如果$\{ x_{n}
\}$是无穷小数列, $x_{n} \neq 0$, 则$\{ \frac{1}{x_{n}}
\}$是无穷大数列.
证明过程同样只需要使用定义, 只要注意到$|\frac{1}{x_{n}}| \geq
\epsilon$ 等价于 $x_{n} \leq c = \frac{1}{\epsilon}$.
命题3. 若$\{ x_{n} \}$是无穷小数列, 则$\{ | x_{n} |
\}$也是无穷小数列, 且反之也然. 两个无穷小数列的和(差)是无穷小数列.
由此可以推广到任意有限个无穷小数列的代数和是无穷小数列.
同样是使用定义即可. 对于后者, 需要使用所谓三角形不等式: $|x_{n} \pm
y_{n}| \leq |x_{n}| + |y_{n}| $
命题4. 无穷小数列乘以有界数列的积是无穷小数列. 加上命题1,
可知两个无穷小数列的积是无穷小数列, 进一步通过归纳法,
任意有限多个无穷小数列的积是无穷小数列.
直接使用定义, 包括数列有界的定义.
命题5. 若$\{ x_{n} \}$是常数数列且是无穷小数列, 则$x_{n} = 0$.
反证法即可.
下面有几个例子值得记住: 当$|q| < 1$时, $\{ q^{n} \}$是无穷小数列;
$\{ nq^{n} \}$是无穷小数列; 甚至对于任何实数$k$,
$n^{k}q^{n}$还是无穷小数列.
这说明$p^{n}$的增长速度远远超过$n^{k}$的增长速度, 这里$p > 1$.
这里的证明使用了伯努利不等式和牛顿二项式. $n^{k}q^{n} =
(n(\sqrt[k]{q})^{n})^{k}$.