这一讲主要是数列的极限及其性质.
\section{数列的极限}
这一节只有一个定义, 自然就是数列的极限,
这个极限以无穷小数列为基本出发点.
1) 数列$\{ a_{n}\}$叫做是收敛的, 如果存在数$l \in \mathbb{R}$,
使得数列$\alpha_{n}=a_{n}-l$是无穷小数列.
$$
\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=l \text{或者} \ \text{当}n \rightarrow
\infty \text{时} a_{n} \rightarrow l.
$$
也可以使用$\epsilon$语言描述:
$$
\forall \epsilon > 0 \ \exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) \text{使得}
\forall n > n_{0} \text{有}|a_{n}-l| < \epsilon.
$$
对于发散的数列, 有所谓发散到`` 正无穷 '', `` 负无穷 '', `` 无穷
''的情形.
如果对于任意的$c > 0$, 只有有限多项满足不等式$a_{n} < c$,
就叫做发散到``正无穷'', 记作
$$
\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=+\infty \text{或} \ \text{当}n
\rightarrow \infty \text{时} a_{n} \rightarrow +\infty.
$$
如果对于任意的$b < 0$, 只有有限多项满足不等式$a_{n} > b$,
就叫做发散到``负无穷'', 记作
$$
\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=-\infty \text{或} \ \text{当}n
\rightarrow \infty \text{时} a_{n} \rightarrow -\infty.
$$
如果对于任意的$c > 0$, 只有有限多项满足不等式$|a_{n}| < c$,
就叫做发散到``无穷'', 记作
$$
\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\infty \text{或} \ \text{当}n
\rightarrow \infty \text{时} a_{n} \rightarrow \infty.
$$
下面讨论收敛数列的相关属性.
命题1. 若数列$\{ a_{n} \}$收敛, 则它有唯一的极限.
命题2. 若$\{ a_{n} \}$是无穷小数列, 则$
\lim\limits_{n\to\infty}a_{n} = 0$.
命题3. 若$ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n} = l$且$a_{n} \neq 0$, $l
\neq 0$, 则存在$n_{0} \in \mathbb{N}$使得对于一切$n >
n_{0}$有$|a_{n}| > \frac{|l|}{2}$, 或$\frac{1}{|a_{n}|} <
\frac{2}{|l|}$.
命题4. (极限的四则运算) 若$ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n} = l_{1},
\lim\limits_{n\to\infty}b_{n} = l_{2}$, 那么数列的和, 差, 积,
商(此时要求$b_{n} \neq 0, l_{2} \neq 0$)的极限存在, 并且有
\begin{equation}
\begin{split}
\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n} + b_{n}) &= l_{1} + l_{2}, \\
\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n} - b_{n}) &= l_{1} - l_{2}, \\
\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n}b_{n}) &= l_{1}l_{2}, \\
\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{a_{n}}{ b_{n}}) &= \frac{l_{1}}{
l_{2} }
\end{split}
\end{equation}
所有这些命题的证明艘只需要利用定义就可以完成的, 这里不再给出了.
这里给出了一个例子: 无穷递减几何级数的项的和. 部分和$s_{n} =
\sum_{k=1}^{n} aq^{k-1} = \frac{a-aq^n}{1-q}$, 极限为$s =
\lim\limits_{n\to\infty}s_{n}=\frac{a}{1-q}$.
求和的方法是计算$qs_{n}$即可.
\section{不等式中的极限过程}
这一节没有引入任何新概念, 只是给出了一些不等式相关的极限性质,
其中最基本的是在极限过程中, 序列有一定的保号性, 也就是下面的命题1.
由此出发, 最重要的一个结论就是所谓的夹逼准则,
最后给出一个判断极限的方法: 施托尔茨(Stolz)定理.
命题1. 设$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=l$, 那么,
若对于一切$n$成立不等式$a_{n} > c$, 则$l \geq c$; 另一方面,
如果是成立不等式$a_{n} < c$, 则$l \leq c$.
使用定义即可.
命题2. 设$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=l_{1}$,
$\lim\limits_{n\to\infty}b_{n}=l_{2}$, 那么:
1)若$a_{n} < b_{n}$, 则$l_{1} \leq l_{2}$.
2)若$a_{n} \leq b_{n}$, 则$l_{1} \leq l_{2}$.
只是命题1的推论, $c_{n}=b_{n}-a_{n}$.
命题3. 若$\{\alpha_{n}\}$是无穷小数列, 且对于一切自然数 $n$
有$|\beta_{n}| \leq \alpha_{n}$, 则$\beta_{n}$也是无穷小数列.
定义的直接应用.
命题4. (夹逼准则) 设对于一切$n \in \mathbb{N}$, $a_{n} \leq c_{n}
\leq b_{n}$, 并设$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n} =
\lim\limits_{n\to\infty}b_{n} = l$,
那么极限$\lim\limits_{n\to\infty}c_{n}$存在且等于$l$.
者只需要使用命题1即可获证.
命题5. (施托尔茨(Stolz)定理)设
1) $y_{n+1} > y_{n} > 0$, 单调递增.
2) $\lim\limits_{n\to\infty}y_{n} = +\infty$. 无穷大数列
3) $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1} - x_{n}}{y_{n+1} - y_{n}}
= l$, 那么存在极限$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}} = l$.
令$u_{n} = \frac{x_{n}}{y_{n}}$, $x_{n} = u_{n}y_{n}$
前面的极限就变成$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}y_{n+1} -
u_{n}y_{n}}{y_{n+1} - y_{n}} = l$.
证明过程也是利用定义, 首先把分式展开, 下面给出详细过程.
需要注意这里面的一个技巧(证明过程中说明): 先固定一个,
然后决定另外一个.
从题目条件可以得到: $\frac{x_{n+1} - x_{n}}{y_{n+1} - y_{n}} = l +
\alpha_{n}$, 其中$\alpha_{n}$是无穷小数列, 这意味着,
对于任意的$\epsilon > 0$, 存在$N=N(\epsilon)$ (注意这里确定了第一个,
接下来把这个$N$固定), 使得对于一切$n \geq N$ 有$|\alpha_{n}| <
\frac{\epsilon}{2}$. 把等式展开:
\begin{equation}
\begin{split}
x_{n+1} - ly_{n+1} &= x_{n} - ly_{n} + \alpha_{n}(y_{n+1} - y_{n}) \\
............ \\
x_{N+1} - ly_{N+1} &= x_{N} - ly_{N} + \alpha_{N}(y_{N+1} - y_{N})
\end{split}
\end{equation}
把各个等式相加:
$$
x_{n+1} - ly_{n+1} = x_{N} - ly_{N} + \alpha_{n}(y_{n+1} - y_{n}) +
... + \alpha_{N}(y_{N+1} - y_{N})
$$
注意到$y_{k+1}-y_{k}$都是正的, 使用三角不等式, 即可得到
\begin{equation}
\begin{split}
|x_{n+1} - ly_{n+1}| &\leq |x_{N} - ly_{N}| + |\alpha_{n}|(y_{n+1} -
y_{n}) + ... + |\alpha_{N}|(y_{N+1} - y_{N}), \\
|x_{n+1} - ly_{n+1}| &\leq |x_{N} - ly_{N}| +
\frac{\epsilon}{2}(y_{n+1}
- y_{n}) + ... + \frac{\epsilon}{2}(y_{N+1} - y_{N}), \\
|\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}} - l| &\leq \frac{|x_{N} - ly_{N}|}{y_{n+1}}
+ \frac{\epsilon}{2}\frac{y_{n+1} - y_{N}}{y_{n+1}}
\end{split}
\end{equation}
由于$\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=+\infty$,
存在$n_{1}=n_{1}(\epsilon)$ (这里确定了第二个), 使得对于一切$n
> n_{1}$成立估计式$\frac{|x_{N} - ly_{N}|}{y_{n+1}} <
\frac{\epsilon}{2}$.
令$n_{0}=max\{n_{1}, N\}$ (注意这个处理), 那么对于一切 $n>n_{0}$
有$|\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}} - l| < \epsilon$, 定理获证.
书中给出了几个例子, 这里面简单说明一下.
例子1. $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt
{a} = 1$, 其中$a > 1$.
证明使用伯努利不等式. $a = (1 + \alpha_{n})^n > 1 + n\alpha_{n}$.
例子2. $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n} = 1$.
证明使用牛顿二项式. $n = 1 + n \alpha_{n} + \frac{n(n-1)}{2}
\alpha_{n}^2 + ... > \frac{n(n-1)}{2} \alpha_{n}^2$.
例子3. 设$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n} = a$,
那么$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n} = a$.
注意一下, 这个极轮实际上可以使用施托尔茨(Stolz)定理来证明的: $x_{n}
= a_{1} + ... + a_{n}$, $y_{n} = n$, 那么$\frac{x_{n+1} -
x_{n}}{y_{n+1} - y_{n}} = a_{n + 1}$.
书中是直接使用定义证明的.
证明过程和施托尔茨(Stolz)定理的证明过程类似.