2007年全国初中数学联赛

武汉CASIO杯选拔赛试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知一次函数y = ax + b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（－2，0），则不等式ax＞b的解集为（     ）

    A．x＞－2          B．x＜－2            C．x＞2            D．x＜2

2．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（    ）

    A．a＞b＞c         B．c＞b＞a           C．b＞a＞c         D．b＞c＞a

3．父母的血型与子女的可能血型之间有如下关系：

已知：⑴麦思的父母与麦思的血型各不相同；⑵麦思的血型不是B型，那么麦思的血型是（    ）

    A．A型      B．AB型或O型      C．AB型      D．A型或O型或AB型

4．四条直线两两相交，且任意三条不交于同一点，则这四条直线共可构成的同位角有（    ）

    A．24组           B．48组          C．12组           D．16组

5．已知一组正数 的方差为： ，则关于数据 的说法：①方差为S²；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S²。其中正确的说法是（    ）

   A．①②    B．①③    C．②④    D．③④

6．已知三角形的三边a，b，c的长都是整数，且a≤b＜c，如果b = 7，则这样的三角形共有（   ）

   A．21个          B．28个          C．49个          D．54个

  A．第一部分        B．第二部分       

C．第三部分        D．第四部分

8．已知实数a满足 ，那么 的值是（     ）

 A．2005     B．2006     C．2007     D．2008

9．设分数 不是最简分数，那么正整数n的最小值可以是（     ）

   A．84     B．68    C．45    D．115

10．如图，P是△ABC内一点，BP，CP，AP的延长线分别与AC，AB，BC交于点E，F，D。考虑下列三个等式：⑴ ；⑵ ；⑶ 。其中正确的有（      ）

   A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．已知对所有的实数x ， 恒成立，则m可取得的最大值为____________.

12．《射雕英雄传》中，英姑对黄蓉说道：“你算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排列？”黄蓉当下低声诵道：“九宫之意，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。…。”

      请按黄蓉所述将一至九这九个数填入下边的“宫”中。

13．军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为 ，七进位制表示为 ，那么苹果的总数用十进位制表示为___________.

14．一个七边形棋盘如图所示，7个顶点顺序从0到6编号，称为七个格子。一枚棋子放在0格，现在依逆时针移动这枚棋子，第一次移动1格，第二次移动2格，…，第n次移动n格。则不停留棋子的格子的编号有________________.

三、解答题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）

15．有40组CASIO卡片，每组均由C，A，S，I，O五张卡片按C，A，S，I，O顺序由上而下叠放而成，现将这40组卡片由上至下叠放在一起，然后把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，…，如此继续下去，直至最后只剩下一张卡片。

（1）在上述操作过程中，当只剩下88张卡片时，一共丢掉了多少张卡片S ？

（2）最后一张卡片是哪一组的哪一张卡片？

16．如图，D是△ABC内一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE = CF，G、H、M分别为BD、AC、EF的中点，如果G、H、M三点共线，求证：AB = CD。

2007年全国初中数学联赛

武汉CASIO杯选拔赛试题及参考答案

2006年12月3日

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知一次函数y = ax + b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（－2，0），则不等式ax＞b的解集为（     ）

    A．x＞－2          B．x＜－2          C．x＞2            D．x＜2

解：∵a＞0，b =2a，∴ax＞b的解集为x＞2，选C。

2．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（    ）

    A．a＞b＞c         B．c＞b＞a         C．b＞a＞c         D．b＞c＞a

解：分子有理化，选A

3．父母的血型与子女的可能血型之间有如下关系：

已知：⑴麦思的父母与麦思的血型各不相同；⑵麦思的血型不是B型，那么麦思的血型是（    ）

    A．A型       B．AB型或O型     C．AB型      D．A型或O型或AB型

解：选D。

4．四条直线两两相交，且任意三条不交于同一点，则这四条直线共可构成的同位角有（    ）

    A．24组           B．48组           C．12组           D．16组

解：四条直线共可构成四组不同的三条直线组，而每一三条直线组共可构成12对同位角，故共有4×12 = 48组同位角。

5．已知一组正数 的方差为： ，则关于数据 的说法：①方差为S²；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S²。其中正确的说法是（    ）

   A．①②    B．①③    C．②④    D．③④

解： ，∴ ，③正确，

，①正确，故选B

6．已知三角形的三边a，b，c的长都是整数，且a≤b＜c，如果b = 7，则这样的三角形共有（   ）

     A．21个          B．28个         C．49个          D．54个

解：当a=2时，有1个；当a=3时，有2个；当a=4时，有3个；当a=5时，有4个；

当a=6时，有5个；当a=7时，有6个；共有21个，选A

7．如图，直线l₁：y = x + 1与直线l₂ ：  把平面直角坐标系分成四个部分，则点 在（     ）

      A．第一部分        B．第二部分      C．第三部分        D．第四部分

解：选B。

8．已知实数a满足 ，那么 的值是（     ）

   A．2005     B．2006     C．2007     D．2008

解：∵a≥2007，∴ ，∴ ，∴ ，选C

9．设分数 不是最简分数，那么正整数n的最小值可以是（     ）

   A．84     B．68    C．45    D．115

解：设d是（n－13）与5n + 6的一个公约数，则d |（n－13），d |（5n + 6），∴d | [（5n + 6）－5（n－13）]，∴d | 71，∵71是质数，∴d = 71，∵d |（n－13），∴n－13≥71，∴n≥84，n的最小值是84。选A

10．如图，P是△ABC内一点，BP，CP，AP的延长线分别与AC，AB，BC交于点E，F，D。考虑下列三个等式：⑴ ；⑵ ；⑶ 。其中正确的有（      ）

   A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

解：⑴正确，理由：

；

⑵正确，理由：

；

⑶正确，理由：

。

故选D。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．已知对所有的实数x ， 恒成立，则m可取得的最大值为____________.

解：原式即为： ，

当－1≤x≤2时， 取得最小值为3，

∵ ，

∴当x = 1时， 的最小值为3，

∴3≥m，m的最大值为3。

12．《射雕英雄传》中，英姑对黄蓉说道：“你算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排列？”黄蓉当下低声诵道：“九宫之意，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。…。”

      请按黄蓉所述将一至九这九个数填入下边的“宫”中。

解： 如上所示。

13．军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为 ，七进位制表示为 ，那么苹果的总数用十进位制表示为___________.

解：220。∵1≤a≤6，∵1≤b≤6，

∵1≤c≤6，有：a×8² + b×8 + c = c×7² + b×7 + a，

得：63a + b－48c = 0，b = 3（16c－21a），

∴b = 0，3，6，经检验b = 3符合题意，

故b =3，c=4，a = 3，于是：a×8² + b×8 + c = 220。